Цель работы

Показать, как с помощью математической модели выбрать стратегию поиска и перехвата цели.

Сюжет: катер береговой охраны преследует лодку браконьеров в тумане. В момент прояснения лодка наблюдается на расстоянии \(k\) км от катера, затем снова скрывается и продолжает движение прямолинейно в неизвестном направлении. Скорость катера в \(n\) раз больше скорости лодки. Требуется найти траекторию катера, обеспечивающую перехват.

Задание

1. Выполнить вывод дифференциальных уравнений для случая, когда скорость катера превышает скорость лодки в \(n\) раз.
2. Построить траектории катера и лодки для двух вариантов начальных условий.
3. По графику определить точку пересечения траекторий (момент перехвата).

Начальные обозначения и выбор координат

Примем момент обнаружения за \(t_0 = 0\).

В этот момент:

• лодка находится в точке \(X_0 = 0\),
• катер расположен на расстоянии \(k\) от лодки (вдоль линии визирования): \(X_0 = k\).

Переходим к полярным координатам:

• полюс — точка обнаружения лодки (\(r=0\)),
• полярная ось \(r\) направлена через начальное положение катера.

Дистанция перехода к «обходу» полюса

Найдём радиус \(x\), при котором катер и лодка оказываются на одинаковом расстоянии от полюса.

За время \(t\):

• лодка проходит путь \(x\),
• катер проходит \(x-k\) или \(x+k\) (в зависимости от стартовой конфигурации относительно полюса).

Так как скорость лодки равна \(v\), а скорость катера равна \(nv\), равенство времен приводит к двум режимам.

Разложение скорости катера и система ОДУ

Из условия равенства времени получаем начальные радиусы для двух случаев:

• case = plus: \[ x_1=\frac{k}{n+1}, \quad \theta_0=0 \]
• case = minus: \[ x_2=\frac{k}{n-1}, \quad \theta_0=-\pi \]

Далее катер должен удерживать ту же радиальную скорость удаления, что и лодка, то есть \(dr/dt=v\), и одновременно иметь тангенциальную составляющую, обеспечивающую «обметание» направлений.

Уравнение траектории катера

Исключая параметр времени \(t\), получаем уравнение траектории:

\[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}}. \]

Качественный вывод: решение имеет вид экспоненциально расходящейся спирали в полярных координатах.

Условие задачи для расчётов

Дано:

• расстояние обнаружения: \(k=20\) км,
• превосходство скорости: \(n=5\).

Цель: построить траектории катера и лодки и определить момент перехвата по пересечению кривых.

Базовый эксперимент: case = plus

Базовый эксперимент: case = plus

Наблюдения:

• траектория катера — расходящаяся спираль;
• радиус \(r\) монотонно возрастает при увеличении угла \(\theta\);
• траектория лодки в полярных координатах выглядит как луч (так как в декартовой системе движение прямолинейное).

Базовый эксперимент: case = minus

Базовый эксперимент: case = minus

Отличия от режима case=plus:

• стартовый радиус больше, поэтому траектория целиком «сдвинута» наружу;
• форма спирали сохраняется, меняется преимущественно масштаб.

Сканирование по параметру \(n\)

Сканирование по параметру \(n\)

Из уравнения \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}} \] следует, что коэффициент роста по углу равен \(1/\sqrt{n^2-1}\). Поэтому:

• при малых \(n\) спираль «раскручивается» быстрее;
• при больших \(n\) радиус растёт медленнее;
• траектория становится более «пологой» по \(\theta\).

Метрика scale_ratio

Введём показатель относительного масштаба:

\[ \text{scale\_ratio}=\frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})}. \]

Метрика scale_ratio

Метрика scale_ratio

Интерпретация:

• при малых \(n\) значение заметно больше \(1\), то есть катер существенно превосходит лодку по «радиальному масштабу» движения;
• с ростом \(n\) метрика быстро снижается;
• при больших \(n\) масштабы траекторий становятся близкими.

Для режима case=minus значения выше вследствие увеличенного стартового радиуса.

Время вычислений

Время вычислений

Итоги бенчмаркинга:

• время расчёта порядка \(\sim 6\times10^{-4}\) сек;
• выраженной зависимости от \(n\) не обнаружено;
• небольшие флуктуации обусловлены адаптивным шагом интегрирования.

Выводы

1. Траектория катера в полярных координатах описывается экспоненциально расходящейся спиралью.
2. Параметр \(n\) управляет темпом роста: при увеличении \(n\) радиус возрастает медленнее при росте \(\theta\).
3. Режим начального условия (case) меняет масштаб траектории, но не её качественную форму.
4. Численное решение устойчиво, а вычислительная стоимость практически не чувствительна к \(n\).