Лабораторная работа № 2
2026-02-24
Показать, как с помощью математической модели выбрать стратегию поиска и перехвата цели.
Сюжет: катер береговой охраны преследует лодку браконьеров в тумане. В момент прояснения лодка наблюдается на расстоянии \(k\) км от катера, затем снова скрывается и продолжает движение прямолинейно в неизвестном направлении. Скорость катера в \(n\) раз больше скорости лодки. Требуется найти траекторию катера, обеспечивающую перехват.
Примем момент обнаружения за \(t_0 = 0\).
В этот момент:
Переходим к полярным координатам:
Найдём радиус \(x\), при котором катер и лодка оказываются на одинаковом расстоянии от полюса.
За время \(t\):
Так как скорость лодки равна \(v\), а скорость катера равна \(nv\), равенство времен приводит к двум режимам.
Из условия равенства времени получаем начальные радиусы для двух случаев:
Далее катер должен удерживать ту же радиальную скорость удаления, что и лодка, то есть \(dr/dt=v\), и одновременно иметь тангенциальную составляющую, обеспечивающую «обметание» направлений.
Исключая параметр времени \(t\), получаем уравнение траектории:
\[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}}. \]
Качественный вывод: решение имеет вид экспоненциально расходящейся спирали в полярных координатах.
Дано:
Цель: построить траектории катера и лодки и определить момент перехвата по пересечению кривых.
Наблюдения:
Отличия от режима case=plus:
Из уравнения \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}} \] следует, что коэффициент роста по углу равен \(1/\sqrt{n^2-1}\). Поэтому:
Введём показатель относительного масштаба:
\[ \text{scale\_ratio}=\frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})}. \]
Интерпретация:
Для режима case=minus значения выше вследствие увеличенного стартового радиуса.
Итоги бенчмаркинга: